我多标准决策分析

“ MCDM”在这里重定向。有关宇宙学的用途，请参见元冷的暗物质。

“ MCDA”在这里重定向。有关技术联盟，请参见Micro Channel开发人员协会。

另请参阅：多目标优化

在最大化收益并最大程度地减少金融投资组合风险（红点中的帕累托优点）时，有两个标准的情节

多标准决策（ MCDM ）或多标准决策分析（ MCDA ）是操作研究的子学科，可明确评估决策中多个冲突的标准（在日常生活中和商业，政府，政府和医学等环境中）。相互矛盾的标准是评估选项的典型特征：成本或价格通常是主要标准之一，在与成本冲突的情况下，一定程度的质量量度通常是另一个标准。在购买汽车，成本，舒适，安全和燃油经济性时，我们认为的一些主要标准可能是最便宜的汽车是最舒适，最安全的汽车。在投资组合管理中，管理人员有兴趣获得高回报，同时降低风险；但是，具有高收益的潜力的股票通常会带来亏损的高风险。在服务行业中，客户满意度和提供服务的成本是基本冲突的标准。

在日常生活中，人们通常会隐含多个标准，并且可能对仅基于直觉做出的决定的后果感到满意。另一方面，当赌注很高时，正确构建问题并明确评估多个标准很重要。在决定是否建造核电站以及在哪里建造核电站的决定时，不仅存在涉及多个标准的非常复杂的问题，而且还有多个政党受到后果的影响。

很好地构建复杂的问题并考虑多个标准会导致更明智和更好的决定。自1960年代初期现代多标准决策纪律以来，这一领域取得了重要的进步。许多方法和方法，许多是由专业决策软件实施的，已为其在一系列学科中的应用中开发出来，从政治和商业到环境和能源。

基础，概念，定义

MCDM或MCDA是用于多标准决策和多标准决策分析的首字母缩写词。 Stanley Zionts通过他的1979年文章“ McDM - 如果不是罗马数字，那是什么？”，该文章旨在为企业家观众普及。

MCDM关注的是构建和解决涉及多个标准的决策和计划问题。目的是支持面临此类问题的决策者。通常，对于此类问题，不存在独特的最佳解决方案，因此有必要使用决策者的偏好来区分解决方案。

“解决”可以用不同的方式来解释。它可能对应于从一组可用替代方案中选择“最佳”替代方案（其中“最佳”可以解释为决策者的“最优选的替代方案”）。 “解决”的另一个解释可能是选择一小部分好替代方案，或将替代方案分组为不同的偏好集。一个极端的解释可能是找到所有“有效”或“非主导”的替代方案（我们很快将定义）。

问题的困难源于存在多个标准。在不包含偏好信息的情况下，不再有对MCDM问题的独特最佳解决方案。最佳解决方案的概念通常被非主导的解决方案所取代。如果在不牺牲另一个标准的情况下不可能在任何标准中改进它，则称为非主导。因此，决策者从非主导集合中选择解决方案是有意义的。否则，就某些或全部标准而言，她/他可以做得更好，并且在其中任何一个方面都不会更糟。但是，通常，一组非主导的解决方案太大了，无法向决策者提供最终选择。因此，我们需要帮助决策者专注于首选解决方案（或替代方案）的工具。通常，一个人必须为他人“权衡”某些标准。

自1970年代以来，MCDM一直是一个积极的研究领域。有几个与MCDM相关的组织，包括国际多标准决策协会，MCDA的欧元工作组以及有关MCDM的信息。有关历史，请参见：Kökksalan，Wallenius和Zionts（2011）。 MCDM借鉴了许多领域的知识，包括：

数学

决策分析

经济学

计算机技术

软件工程

信息系统

一种类型学

MCDM问题和方法有不同的分类。 MCDM问题之间的主要区别是基于解决方案是明确或隐式定义的。

多标准评估问题：这些问题由有限数量的替代方案组成，这些替代方案在解决方案过程开始时明确知道。每个替代方案都由其在多个标准中的性能表示。该问题可以定义为找到决策者（DM）的最佳替代方案，或找到一组好的替代方案。一个人也可能对“排序”或“分类”替代方案感兴趣。排序是指将替代方案放置在一组偏好的类别中（例如向国家 /地区分配信用评估），并分类是指将替代方案分配给非命令的集合（例如，根据其症状诊断患者）。 Triantaphyllou在该主题上以比较的方式研究了此类别中的一些MCDM方法，2000年。

多标准设计问题（多个客观的数学编程问题） ：在这些问题中，替代方案尚不清楚。可以通过求解数学模型来找到替代（解决方案）。替代品的数量是有限的或无限的（可计数或不可数），但通常是指数级的（在有限域的变量数量中）。

无论是评估问题还是设计问题，都需要DMS的偏好信息才能区分解决方案。 MCDM问题的解决方案方法通常根据从DM获得的偏好信息的时间进行分类。

有一些方法在过程开始时需要DM的偏好信息，从而将问题转化为单个标准问题。据说这些方法是通过“事先表达偏好的”来运作的。基于估计价值函数或使用“超级关系”的概念，分析层次结构过程以及一些基于规则的决策方法的方法，试图利用偏好的事先表达来解决多个标准评估问题。类似地，有一些方法通过构建价值函数的事先表达来解决多标准设计问题。这些方法中最著名的可能是目标编程。一旦构建了值函数，就可以求解所得的单个客观数学程序以获得首选的解决方案。

某些方法在整个解决方案过程中需要从DM中获得的偏好信息。这些被称为需要“逐步表达偏好”的交互式方法或方法。这些方法已经针对多个标准评估进行了很好的开发（例如，参见Geoffrion，Dyer和Feinberg，1972年，以及Kökksalan和Sagala，1995）和设计问题（请参阅Steuer，1986）。

多标准设计问题通常需要解决一系列数学编程模型的解决方案，以揭示隐式定义的解决方案。对于这些问题，“有效解决方案”的表示或近似也可能引起人们的关注。该类别被称为“偏好后表达”，这意味着DM的参与开始于“有趣”解决方案的明确启示后（例如，参见Karasakal和Kökksalan，2009年）。

当数学编程模型包含整数变量时，设计问题就变得更难解决。多目标组合优化（MOCO）构成了构成重大计算难度的此类问题的特殊类别（请参阅Ehrgott和Gandibleux，2002年，有关综述）。

表示和定义

MCDM问题可以在标准空间或决策空间中表示。或者，如果通过加权线性函数将不同的标准组合在一起，则也可以在体重空间中表示问题。以下是标准和重量空间以及一些形式定义的演示。

标准空间表示

让我们假设我们使用多个标准在特定问题情况下评估解决方案。让我们进一步假设在每个标准中都更好。然后，在所有可能的解决方案中，我们对在所有被考虑的标准中都表现良好的解决方案感兴趣。但是，在所有被认为的标准中都表现良好的单个解决方案不可能。通常，某些解决方案在某些条件下表现良好，而另一些解决方案在其他条件下表现良好。在标准之间找到一种交易的方式是MCDM文献中的主要努力之一。

从数学上讲，与上述参数相对应的MCDM问题可以表示为

“最大” Q

约束

q∈Q _

其中q是k标准函数的向量（目标函数），而q是可行的集合， q r k 。

如果Q明确定义（通过一组替代方案），则结果问题称为多标准评估问题。

如果q是隐式定义的（通过一组约束），则结果问题称为多标准设计问题。

引号用于表明向量的最大化不是定义明确的数学操作。这与以下论点相对应，即我们必须找到一种方法来解决标准之间的权衡（通常是基于决策者的偏好），而在所有标准中都不存在的解决方案时。

决策空间表示

决策空间对应于我们可用的一系列可能的决策。标准价值将是我们做出的决定的后果。因此，我们可以在决策空间中定义相应的问题。例如，在设计产品时，我们决定了设计参数（决策变量），每个设计参数都会影响我们评估产品的性能度量（标准）。

从数学上讲，在决策空间中可以表示多标准设计问题，如下所示：

其中x是可行的集， x是大小n的决策变量向量。

当X是由线性不等式和平等定义的多面体时，将获得一个发达的特殊情况。如果所有目标函数在决策变量方面都是线性的，则该变化会导致多个目标线性编程（MOLP），这是MCDM问题的重要子类。

MCDM中有几个定义。两个密切相关的定义是非主导性的定义（根据标准空间表示定义）和效率（根据决策变量表示定义）。

定义1. q* ∈Q如果不存在另一个q∈Q ，则是非主导的，使得q≥q *和q ≠ q* 。

粗略地说，只要在所有考虑的标准中，解决方案都不优于任何其他可用解决方案。

定义2. x* ∈X如果不存在另一个x∈X ，则f （ x ） ≥f （ x *）和f （ x ）≠ f （ x *） 。

如果MCDM问题很好地代表了决策情况，则DM最喜欢的解决方案必须是决策空间中的有效解决方案，并且其图像是标准空间中非主导的点。以下定义也很重要。

定义3. Q* ∈Q如果不存在另一个Q∈Q ，则弱主导了。

定义4. x* ∈X如果不存在另一个x∈X ，则f （ x ）> f （ x *）是弱有效的。

非主导的点弱包括所有非主导的点和一些特殊的主导点。这些特殊主导的观点的重要性源于它们通常在实践中出现，并且需要特别注意将它们与非主导观点区分开来。例如，如果我们最大化一个单个目标，我们可能最终会以一个弱的非主导点所主导。弱主导的集合的主导点位于标准空间中的垂直平面或水平平面（超平面）上。

理想点：（在标准空间中）每个目标函数的最佳问题（最大化问题的最大化和最小化问题的最小值），通常对应于一个不可行的解决方案。

NADIR点：（在标准空间中）代表了非主导集合中的点之间每个目标函数的最大最大化问题和最小化问题的最小值），通常是主导点。

理想点和Nadir点对DM很有用，以获得解决方案范围的“感觉”（尽管找到具有两个以上标准的设计问题的Nadir点并不直接）。

决策和标准空间的插图

决策变量空间中的以下两变量MOLP问题将有助于以图形方式证明一些关键概念。

图1.证明决策空间

在图1中，极端点“ E”和“ B”分别最大化了第一个和第二个目标。这两个极端点之间的红色边界代表了有效的集合。从数字可以看出，对于有效集合以外的任何可行解决方案，可以在有效集合上提高两个目标。相反，对于高效集合上的任何一点，都无法通过移动到任何其他可行解决方案来改善这两个目标。在这些解决方案中，必须从其中一个目标牺牲，以改善另一个目标。

由于其简单性，上述问题可以在标准空间中表示，通过用f的x代替x，如下所示：

图2.标准空间中解决方案的演示

最大F 1

最大F 2

约束

F 1 + 2 F2≤12

2 F 1 + F2≤12

F 1 + F2≤7

F 1 - F2≤9

- f 1 + f2≤9

F 1 + 2 F2≥0

2 F 1 + F2≥0

我们在图2中以图形方式介绍了标准空间。在标准空间中检测非主导点（对应于决策空间中的有效解决方案）更容易。可行空间的东北地区构成了非主导点的集合（对于最大化问题）。

产生非主导的解决方案

有几种生成非主导解决方案的方法。我们将讨论其中两个。第一种方法可以生成一类非主导的解决方案，而第二种方法可以生成任何非主导的解决方案。

加权总和（Gass＆Saaty，1955年）

如果我们通过将每个标准乘以正权重并总结加权标准将多个标准组合到单个标准中，那么对产生的单个标准问题的解决方案是一种特殊的有效解决方案。这些特殊的有效解决方案出现在一组可用解决方案的角点。不在角点的有效解决方案具有特殊的特征，并且该方法无法找到此类点。从数学上讲，我们可以将这种情况表示为

最大W t 。 q = w t 。 f（x） ， w > 0

约束

x∈X _

通过改变权重，可以使用加权总和来为设计问题生成有效的极端解决方案，并用于评估问题（凸的非主导）点（凸非主导）。

成就标量功能（Wierzbicki，1980）

图3.具有成就标量功能的非主导集的投影点

成就标量功能还通过以非常特殊的方式加权来将多个标准结合到单个标准中。它们创建的矩形轮廓从参考点转向可用的有效解决方案。这种特殊的结构赋予了成就标量的功能，以达到任何有效的解决方案。这是一个强大的属性，使这些功能对于MCDM问题非常有用。

从数学上讲，我们可以将相应的问题表示为

min s （ g，q，w， ρ ） = min {max i [（ g i -q i ） / w i ] + ρσi （ g i -q i ） }，

约束

q∈Q _

成就标量函数可用于在有效的边界上投射任何点（可行或不可行）。可以达到任何点（是否支持）。需要目标函数中的第二项以避免产生效率低下的解决方案。图3证明了使用成就标量化函数沿方向W沿方向w方向w方向w，可行的点g 1和不可行的点G 2分别投影到非主导点q 1和q 2上。虚线和固体轮廓分别对应于带有目标函数第二项的目标函数轮廓。

解决MCDM问题

为解决MCDM问题（设计和评估类型）而开发了不同的思想流派。有关一项文献计量学研究，展示了它们随着时间的流逝的发展，请参见Bragge，Korhonen，H。Wallenius和J. Wallenius [2010]。

多个客观的数学编程学校

（1）矢量最大化：矢量最大化的目的是近似于非主导集；最初是为多种客观线性编程问题开发的（Evans和Steuer，1973; Yu and Zeleny，1975）。

（2）交互式编程：计算阶段与决策阶段交替出现（Benayoun等，1971； Geoffrion，Dyer和Feinberg，1972; Zionts and Wallenius，1976; Korhonen and Wallenius，1988）。没有假定对DM的价值函数的明确知识。

目标编程学校

目的是为目标设定目标值，并最大程度地减少与这些目标的加权偏差。两种重要的权重以及词素的预先权衡都已使用（Charnes and Cooper，1961）。

模糊的理论家

Zadeh（1965）引入了模糊集，这是经典集合概念的扩展。这个想法用于许多MCDM算法中来建模和解决模糊问题。

基于序数数据的方法

在现实情况下，序数数据具有广泛的应用。在这方面，某些MCDM方法旨在将序数数据作为输入数据处理。例如，序数优先级方法和预选方法。

多属性实用理论家

多属性实用程序或价值功能是引起的，并用于识别最优选的替代方案或排序替代方案。可以使用详细的访谈技术，用于启发线性添加剂函数和乘法非线性实用程序功能（Keeney and Raiffa，1976）。另一种方法是通过询问决策者的一系列成对排名问题，涉及在假设替代方案之间选择一系列成对排名问题（ Paprika方法； Hansen和Ombler，2008年）。

法国学校

法国学校专注于辅助决策，尤其是在1960年代中期起源于法国的占主导地位。该方法最初是由伯纳德·罗伊（Bernard Roy）提出的（罗伊（Roy），1968年）。

进化多目标优化学校（EMO）

EMO算法从初始人群开始，并通过使用旨在模仿最重要的原理和遗传变异操作员的过程来更新它，以改善从一代到下一代的平均人群。目的是将代表非主导集的解决方案汇聚在一起（Schaffer，1984； Srinivas and Deb，1994）。最近，正在努力将偏好信息纳入EMO算法的解决方案过程（请参阅Deb andKökksalan，2010年）。

基于灰色系统理论的方法

在1980年代，邓·朱隆（Deng Julong ）提出了灰色系统理论（GST）及其第一个多重属性决策模型，称为邓小平的灰色关系分析（GRA）模型。后来，灰色系统学者提出了许多基于GST的方法，例如Liu Sifeng的绝对GRA模型，灰色目标决策（GTDM）和灰色绝对决策分析（GADA）。

分析层次结构过程（AHP）

AHP首先将决策问题分解为子问题的层次结构。然后，决策者通过成对比较评估其各种元素的相对重要性。 AHP将这些评估转换为数值（权重或优先级），用于计算每种替代方案的分数（Saaty，1980）。一致性指数衡量了决策者在她的回应中保持一致的程度。 AHP是这里列出的最具争议的技术之一，MCDA社区的一些研究人员认为这是有缺陷的。基础数学也更加复杂，需要合理的分析，尽管由于商业上可用的软件已经获得了一些知名度。

几篇论文回顾了MCDM技术在各种学科中的应用黄蜂方法。

MCDM方法

可用以下MCDM方法，其中许多方法由专业决策软件实施：

聚合指标随机方法（AIRM）

分析层次结构过程（AHP）

分析网络过程（ANP）

平衡光束过程

最好的最差方法（BWM）

棕色 - 吉布森模型

特征对象方法（彗星）

通过优势选择（CBA）

联合价值层次结构（CVA）

数据包络分析

决策专家（DEX）

分解 - 聚合方法（UTA*，UTAII，UTADIS）

粗糙集（粗糙设置方法）

基于优势的粗糙设定方法（DRSA）

委员

基于与平均溶液（EDA）距离的评估

证据推理方法（ER）

目标编程（GP）

灰色关系分析（GRA）

向量的内部产物（IPV）

通过基于分类的评估技术（MACBETH）来衡量吸引力

多属性全球质量推断（Magiq）

多属性效用理论（MAUT）

多属性价值理论（MAVT）

马尔可夫多标准决策

评估的新方法（NATA）

非结构模糊决策支持系统（NSFDSS）

序数优先级方法（OPA）

所有可能替代方案的所有成对排名（辣椒粉）

Promethee （胜诉）

简单的多属性评分技术（SMART）

分层的多标准决策（SMCDM）

随机多准则可接受性分析（SMAA）

优越性和自卑等级方法（SIR方法）

系统重新设计以创建共享价值（SYRCS）

通过与理想解决方案相似的优先级排序顺序的技术（TOPSIS）

价值分析（VA）

价值工程（VE）

维科方法

加权产品模型（WPM）

加权总和模型（WSM）

也可以看看

建筑权衡分析方法

决策

决策软件

决策悖论

决策资产负债表

多准则分类问题

决策中的逆转

优越性和自卑方式