我平面解析几何@平面直线间位置关系及其判定

文章目录

abstract两直线的位置关系用初等代数的知识推导从线性方程组的解的结构推导比值式判定两直线平行重合判定

总结判断位置关系的算法直线平行对应的方程关系👺

特殊相交关系两条直线垂直直线垂直对应的斜率关系直线垂直判断算法直线垂直对应的方程关系

abstract

平面直线间位置关系

讨论直线的相交@重合@平行三种基本关系及其条件直线垂直关系及其条件

两直线的位置关系

讨论直线的相交/重合/平行三种基本关系及其条件设两条直线分别为

l

1

l_1

l1​:

A

1

x

+

B

1

y

+

C

1

=

0

A_1x+B_1y+C_1=0

A1​x+B1​y+C1​=0;

l

2

l_2

l2​:

A

2

x

+

B

2

y

+

C

2

=

0

A_2x+B_2y+C_2=0

A2​x+B2​y+C2​=0,联立两个方程为方程组(1)

用初等代数的知识推导

使用高斯消元法,若先消去

x

x

x,则

A

1

A

2

x

+

B

1

A

2

y

+

A

2

C

1

=

0

A_1A_2x+B_1A_2y+A_2C_1=0

A1​A2​x+B1​A2​y+A2​C1​=0

A

1

A

2

x

+

A

1

B

2

y

+

A

1

C

2

=

0

A_1A_2x+A_1B_2y+A_1C_2=0

A1​A2​x+A1​B2​y+A1​C2​=0两式相减,

(

B

1

A

2

−

A

1

B

2

)

y

+

A

2

C

1

−

A

1

C

2

=

0

(B_1A_2-A_1B_2)y+A_2C_1-A_1C_2=0

(B1​A2​−A1​B2​)y+A2​C1​−A1​C2​=0(2-1) 类似的,若先消去

y

y

y

A

1

B

2

x

+

B

1

B

2

y

+

B

2

C

1

=

0

A_1B_2x+B_1B_2y+B_2C_1=0

A1​B2​x+B1​B2​y+B2​C1​=0

A

2

B

1

x

+

B

1

B

2

y

+

B

1

C

2

=

0

A_2B_1x+B_1B_2y+B_1C_2=0

A2​B1​x+B1​B2​y+B1​C2​=0可得:

(

A

1

B

2

−

A

2

B

1

)

x

+

B

2

C

1

−

B

1

C

2

=

0

(A_1B_2-A_2B_1)x+B_2C_1-B_1C_2=0

(A1​B2​−A2​B1​)x+B2​C1​−B1​C2​=0,(2-2) 由(2-1)或(2-2),(下面以(2-2)为主讨论)当

A

1

B

2

−

A

2

B

1

≠

0

A_1B_2-A_2B_1\neq{0}

A1​B2​−A2​B1​=0,(3)

有:

x

=

B

1

C

2

−

C

1

B

2

A

1

B

2

−

A

2

B

1

x=\frac{B_1C_2-C_1B_2}{A_1B_2-A_2B_1}

x=A1​B2​−A2​B1​B1​C2​−C1​B2​​

类似的可得

y

=

A

2

C

1

−

A

1

C

2

A

1

B

2

−

A

2

B

1

y=\frac{A_2C_1-A_1C_2}{A_1B_2-A_2B_1}

y=A1​B2​−A2​B1​A2​C1​−A1​C2​​

因此

A

1

B

2

−

A

2

B

1

≠

0

A_1B_2-A_2B_1\neq{0}

A1​B2​−A2​B1​=0时,方程组有唯一解;这是两条直线相交,交点为坐标

(

x

,

y

)

(x,y)

(x,y)

当

A

1

B

2

−

A

2

B

1

=

0

A_1B_2-A_2B_1=0

A1​B2​−A2​B1​=0(3-0)时,且

A

2

C

1

−

A

1

C

2

≠

0

A_2C_1-A_1C_2\neq{0}

A2​C1​−A1​C2​=0(3-1)或

B

1

C

2

−

C

1

B

2

≠

0

B_1C_2-C_1B_2\neq{0}

B1​C2​−C1​B2​=0(3-2)时,方程组(1)无解,此时两直线没有公共交点,两直线平行(不重合)

这一点可以从式(2-2)看出,当

A

1

B

2

−

A

2

B

1

=

0

A_1B_2-A_2B_1=0

A1​B2​−A2​B1​=0时,方程(2)写成

B

2

C

1

−

B

1

C

2

=

0

B_2C_1-B_1C_2=0

B2​C1​−B1​C2​=0,若

B

2

C

1

−

B

1

C

2

≠

0

B_2C_1-B_1C_2\neq{0}

B2​C1​−B1​C2​=0,则可使得(2)不成立,也就是方程(1)无解从而(3-0),(3-2)是无解的条件;对于(3-0),(3-1)也是类似的原因

从线性方程组的解的结构推导

方程组(1)可以写作:

A

1

x

+

B

1

y

=

−

C

1

A

2

x

+

B

2

y

=

−

C

2

A_1x+B_1y=-C_1\\ A_2x+B_2y=-C_2

A1​x+B1​y=−C1​A2​x+B2​y=−C2​

该线性方程组的系数矩阵

A

=

(

A

1

B

1

A

2

B

2

)

A=\begin{pmatrix} A_1&B_1\\ A_2&B_2 \end{pmatrix}

A=(A1​A2​​B1​B2​​) 由于方程组的未知数个数和方程个数相等,考虑使用Cramer法则给出唯一解的条件:

∣

A

∣

≠

0

|A|\neq{0}

∣A∣=0时方程组(1)有唯一解;即

∣

A

∣

=

∣

A

1

B

1

A

2

B

2

∣

|A|=\begin{vmatrix}A_1&B_1\\A_2&B_2\end{vmatrix}

∣A∣=

​A1​A2​​B1​B2​​

​=

A

1

B

2

−

A

2

B

1

≠

0

A_1B_2-A_2B_1\neq{0}

A1​B2​−A2​B1​=0

或者更一般的,使用初等变换法,以及线性方程组解的情况的秩判别法

(

A

1

B

1

−

C

1

A

2

B

2

−

C

2

)

→

r

2

−

A

2

A

1

r

1

(

A

1

B

1

−

C

1

0

B

2

−

A

2

A

1

B

1

−

C

2

+

A

2

A

1

C

1

)

\small\begin{pmatrix} A_1&B_1&-C_1\\ A_2&B_2&-C_2 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2-\frac{A_2}{A_1}{r1}} \begin{pmatrix} A_1&B_1&-C_1\\ 0&B_2-\frac{A_2}{A_1}B_1&-C_2+\frac{A_2}{A_1}{C_1} \end{pmatrix}

(A1​A2​​B1​B2​​−C1​−C2​​)r2​−A1​A2​​r1

​(A1​0​B1​B2​−A1​A2​​B1​​−C1​−C2​+A1​A2​​C1​​)

这里假设

A

1

≠

0

A_1\neq{0}

A1​=0 当

B

2

−

A

2

A

1

B

1

≠

0

B_2-\frac{A_2}{A_1}B_1\neq{0}

B2​−A1​A2​​B1​=0,两边乘以

A

1

A_1

A1​,得式(3),这就是有解的条件

无解的条件是

B

2

−

A

2

A

1

B

1

=

0

B_2-\frac{A_2}{A_1}B_1={0}

B2​−A1​A2​​B1​=0,且

−

C

2

+

A

2

A

1

C

1

≠

0

-C_2+\frac{A_2}{A_1}{C_1}\neq{0}

−C2​+A1​A2​​C1​=0,这就是无解的条件,即式(3-0),(3-1)

比值式判定两直线平行

若

A

2

,

B

2

,

C

2

≠

0

A_2,B_2,C_2\neq{0}

A2​,B2​,C2​=0,则两条直线平行的条件可以改写为比值形式:

A

1

A

2

=

B

1

B

2

≠

C

1

C

2

\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq{\frac{C_1}{C_2}}

A2​A1​​=B2​B1​​=C2​C1​​

重合判定

对于

A

1

A

2

=

B

1

B

2

=

C

1

C

2

\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}={\frac{C_1}{C_2}}

A2​A1​​=B2​B1​​=C2​C1​​,的情形(此时两直线相交),令这个比值为非零常数

λ

\lambda

λ,则

A

1

=

λ

A

2

A_1=\lambda{A_2}

A1​=λA2​,

B

1

=

λ

B

2

B_1=\lambda{B_2}

B1​=λB2​,

C

1

=

λ

C

2

C_1=\lambda C_2

C1​=λC2​,(

λ

≠

0

\lambda\neq{0}

λ=0)(4)

在条件(4)下,两个直线方程中未知数的对应系数成比例,

l

1

l_1

l1​方程可以写成

λ

(

A

2

x

+

B

2

y

+

C

2

)

=

0

\lambda(A_2{x}+B_2{y}+C_2)=0

λ(A2​x+B2​y+C2​)=0(5)

显然,

l

1

,

l

2

l_1,l_2

l1​,l2​方程的解集相同,此时两直线重合

总结

l

1

,

l

2

l_1,l_2

l1​,l2​的位置关系有3种,相交,平行,重合

此处的3种关系,具体的说,相交是相交于一点,(两直线方程的解集的交集仅有一个元素)平行是没有交点(两直线方程解集的交集为空集)重合是其他两种情况以外的情形(两直线方程的解集相同) (单点)相交,则

A

1

B

2

−

A

2

B

1

≠

0

A_1B_2-A_2B_1\neq{0}

A1​B2​−A2​B1​=0或

A

1

A

2

≠

B

1

B

2

\frac{A_1}{A_2}\neq{\frac{B_1}{B_2}}

A2​A1​​=B2​B1​​平行:

A

1

B

2

−

A

2

B

1

=

0

A_1B_2-A_2B_1=0

A1​B2​−A2​B1​=0且

A

2

C

1

−

A

1

C

2

≠

0

A_2C_1-A_1C_2\neq{0}

A2​C1​−A1​C2​=0或

B

1

C

2

−

C

1

B

2

≠

0

B_1C_2-C_1B_2\neq{0}

B1​C2​−C1​B2​=0中的一个成立或

A

1

A

2

=

B

1

B

2

≠

C

1

C

2

\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq{\frac{C_1}{C_2}}

A2​A1​​=B2​B1​​=C2​C1​​ 重合:

A

1

=

λ

A

2

A_1=\lambda{A_2}

A1​=λA2​,

B

1

=

λ

B

2

B_1=\lambda{B_2}

B1​=λB2​,

C

1

=

λ

C

2

C_1=\lambda C_2

C1​=λC2​,

(

λ

≠

0

)

(\lambda\neq{0})

(λ=0)或

A

1

A

2

=

B

1

B

2

=

C

1

C

2

\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}={\frac{C_1}{C_2}}

A2​A1​​=B2​B1​​=C2​C1​​

用表格表示:

条件

A

i

,

B

i

A_i,B_i

Ai​,Bi​不全为0(

i

=

1

,

2

i=1,2

i=1,2)比值式条件相交于一点

A

1

B

2

−

A

2

B

1

≠

0

A_1B_2-A_2B_1\neq{0}

A1​B2​−A2​B1​=0

A

1

A

2

≠

B

1

B

2

\frac{A_1}{A_2}\neq{\frac{B_1}{B_2}}

A2​A1​​=B2​B1​​平行不重合

A

1

B

2

−

A

2

B

1

=

0

A_1B_2-A_2B_1=0

A1​B2​−A2​B1​=0且

B

1

C

2

−

C

1

B

2

≠

0

B_1C_2-C_1B_2\neq{0}

B1​C2​−C1​B2​=0

A

1

A

2

=

B

1

B

2

≠

C

1

C

2

\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq{\frac{C_1}{C_2}}

A2​A1​​=B2​B1​​=C2​C1​​重合

A

1

=

λ

A

2

A_1=\lambda{A_2}

A1​=λA2​,

B

1

=

λ

B

2

B_1=\lambda{B_2}

B1​=λB2​,

C

1

=

λ

C

2

C_1=\lambda C_2

C1​=λC2​,

(

λ

≠

0

)

(\lambda\neq{0})

(λ=0)

A

1

A

2

=

B

1

B

2

=

C

1

C

2

\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}={\frac{C_1}{C_2}}

A2​A1​​=B2​B1​​=C2​C1​​

判断位置关系的算法

由两直线的一般方程为

A

i

,

B

i

,

C

i

A_i,B_i,C_i

Ai​,Bi​,Ci​,

(

i

=

1

,

2

)

(i=1,2)

(i=1,2)赋值(

A

i

,

B

i

A_i,B_i

Ai​,Bi​不同时为0)计算

D

1

=

A

1

B

2

−

A

2

B

1

D_1=A_1B_2-A_2B_1

D1​=A1​B2​−A2​B1​,

D

2

=

B

1

C

2

−

C

1

B

2

D_2=B_1C_2-C_1B_2

D2​=B1​C2​−C1​B2​或

A

1

C

2

−

A

2

C

1

A_1C_2-A_2C_1

A1​C2​−A2​C1​若

D

1

≠

0

D_1\neq{0}

D1​=0,则

l

1

,

l

2

l_1,l_2

l1​,l2​相交若

D

1

=

0

D_1=0

D1​=0,

D

2

≠

0

D_2\neq{0}

D2​=0,则

l

1

,

l

2

l_1,l_2

l1​,l2​平行若

D

1

=

0

D_1=0

D1​=0,

D

2

=

0

D_2=0

D2​=0,则

l

1

,

l

2

l_1,l_2

l1​,l2​重合

直线平行对应的方程关系👺

若

A

1

=

A

2

=

A

A_1=A_2=A

A1​=A2​=A,

B

1

=

B

2

=

B

B_1=B_2=B

B1​=B2​=B,

C

1

≠

C

2

C_1\neq{C_2}

C1​=C2​,则两直线平行

证明:

D

1

=

A

1

B

2

−

A

2

B

1

D_1=A_1B_2-A_2B_1

D1​=A1​B2​−A2​B1​=

A

B

−

A

B

=

0

AB-AB=0

AB−AB=0;

D

2

=

B

1

C

2

−

B

2

C

1

D_2=B_1C_2-B_2C_1

D2​=B1​C2​−B2​C1​=

B

(

C

2

−

C

1

)

B(C_2-C_1)

B(C2​−C1​)或

A

1

C

2

−

A

2

C

1

A_1C_2-A_2C_1

A1​C2​−A2​C1​=

A

(

C

2

−

C

1

)

A(C_2-C_1)

A(C2​−C1​)

当

B

≠

0

B\neq{0}

B=0时,

D

2

≠

0

D_2\neq{0}

D2​=0,两直线平行当

B

=

0

B=0

B=0时,由直线的定义,

A

,

B

A,B

A,B不同时为0,从而

B

=

0

B=0

B=0时,

A

≠

0

A\neq{0}

A=0,

方法1:

B

(

C

2

−

C

1

)

B(C_2-C_1)

B(C2​−C1​)=0,但

A

(

C

2

−

C

1

)

≠

0

A(C_2-C_1)\neq{0}

A(C2​−C1​)=0,所以

D

2

≠

0

D_2\neq{0}

D2​=0,两直线平行方法2:从直线本身特点判断

两直线分别为

A

x

−

C

1

=

0

Ax-C_1=0

Ax−C1​=0,

A

x

−

C

2

=

0

Ax-C_2=0

Ax−C2​=0,即分别为

x

=

−

C

1

A

x=-\frac{C_1}{A}

x=−AC1​​,

x

=

−

C

2

A

x=-\frac{C_2}{A}

x=−AC2​​,这两条直线都与

x

x

x轴垂直,那么两直线要么平行,要么重合由于

C

1

≠

C

2

C_1\neq{C_2}

C1​=C2​,从而两直线平行而不重合 一般地,我们可以把与直线

A

x

+

B

y

+

C

=

0

Ax+By+C=0

Ax+By+C=0平行(不重合)的直线设为

A

x

+

B

y

+

D

=

0

Ax+By+D=0

Ax+By+D=0,

(

D

≠

C

)

(D\neq{C})

(D=C)

特殊相交关系

两条直线垂直

设两条直线分别为

l

1

l_1

l1​:

A

1

x

+

B

1

y

+

C

1

=

0

A_1x+B_1y+C_1=0

A1​x+B1​y+C1​=0;

l

2

l_2

l2​:

A

2

x

+

B

2

y

+

C

2

=

0

A_2x+B_2y+C_2=0

A2​x+B2​y+C2​=0

在平面内,两条直线垂直则一点相交,即,垂直是相交的一种特殊情况

由直线平行对应的方程关系可知,

l

1

l_1

l1​和

l

1

′

l_1'

l1′​:

A

1

x

+

B

1

y

+

0

=

0

A_1x+B_1y+0=0

A1​x+B1​y+0=0平行,

l

2

l_2

l2​和

l

2

′

l_2'

l2′​:

A

2

x

+

B

2

y

+

0

=

0

A_2x+B_2y+0=0

A2​x+B2​y+0=0平行,从而研究

l

1

,

l

2

l_1,l_2

l1​,l2​的垂直条件时,可以转换为研究

l

1

′

,

l

2

′

l_1',l_2'

l1′​,l2′​的垂直条件

显然,

l

1

′

,

l

2

′

l_1',l_2'

l1′​,l2′​是通过坐标原点

(

0

,

0

)

(0,0)

(0,0)的直线,在直线

l

1

′

,

l

2

′

l_1',l_2'

l1′​,l2′​上分别取原点外的点,分别设为

A

(

x

1

,

y

1

)

A(x_1,y_1)

A(x1​,y1​),

B

(

x

2

,

y

2

)

B(x_2,y_2)

B(x2​,y2​),并且

x

1

x

2

≠

0

x_1x_2\neq{0}

x1​x2​=0

设

l

1

′

,

l

2

′

l_1',l_2'

l1′​,l2′​斜率存在且非0(不与坐标轴平行或垂直),即

B

1

,

B

2

≠

0

B_1,B_2\neq{0}

B1​,B2​=0,直线可以分别表示为

y

1

=

−

A

1

B

1

x

1

y_1=-\frac{A_1}{B_1}x_1

y1​=−B1​A1​​x1​(0-1),

y

2

=

−

A

2

B

2

x

2

y_2=-\frac{A_2}{B_2}x_2

y2​=−B2​A2​​x2​(0-2),即"

y

=

k

x

y=kx

y=kx"的形式

由两点间距离公式:

∣

A

B

∣

2

=

(

x

1

−

x

2

)

2

+

(

y

1

−

y

2

)

2

|AB|^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2

∣AB∣2=(x1​−x2​)2+(y1​−y2​)2勾股定理

∣

O

A

∣

2

+

∣

O

B

∣

2

=

∣

A

B

∣

2

|OA|^2+|OB|^2=|AB|^2

∣OA∣2+∣OB∣2=∣AB∣2,

x

1

2

+

y

1

2

+

x

2

2

+

y

2

2

x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2

x12​+y12​+x22​+y22​=

(

x

1

−

x

2

)

2

+

(

y

1

−

y

2

)

2

(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2

(x1​−x2​)2+(y1​−y2​)2化简后可得

x

1

x

2

+

y

1

y

2

=

0

x_1x_2+y_1y_2=0

x1​x2​+y1​y2​=0(1),代入(0-1),(0-2),得

x

1

x

2

(

1

+

A

1

A

2

B

1

B

2

)

=

0

x_1x_2(1+\frac{A_1A_2}{B_1B_2})=0

x1​x2​(1+B1​B2​A1​A2​​)=0(2)因为

x

1

x

2

≠

0

x_1x_2\neq{0}

x1​x2​=0,所以

1

+

A

1

A

2

B

1

B

2

=

0

1+\frac{A_1A_2}{B_1B_2}=0

1+B1​B2​A1​A2​​=0(2-1)对(2-1)两边同乘

B

1

B

2

B_1B_2

B1​B2​,得

A

1

A

2

+

B

1

B

2

=

0

A_1A_2+B_1B_2=0

A1​A2​+B1​B2​=0(2-2)逆向推导可知,

l

1

′

,

l

2

′

l_1',l_2'

l1′​,l2′​相互垂直,也就有

l

1

,

l

2

l_1,l_2

l1​,l2​相互垂直 若

l

1

′

,

l

2

′

l_1',l_2'

l1′​,l2′​中有一条斜率不存在或为0,(与坐标轴平行或重合)

当

l

1

⊥

l

2

l_1\perp{l_2}

l1​⊥l2​时,可知另一条也与坐标轴重合或平行

不妨设

l

1

′

:

x

=

0

l_1':x=0

l1′​:x=0,

l

2

′

:

y

=

0

l_2':y=0

l2′​:y=0,此时

A

1

=

1

,

B

1

=

0

A_1=1,B_1=0

A1​=1,B1​=0,

A

2

=

0

,

B

2

=

1

A_2=0,B_2=1

A2​=0,B2​=1

这同样有(2-2)成立,反之,由式(2-2),也可推出

l

1

⊥

l

2

l_1\perp{l_2}

l1​⊥l2​

综上,平面内任意两条直线

l

1

,

l

2

l_1,l_2

l1​,l2​垂直的条件是

A

1

A

2

+

B

1

B

2

=

0

A_1A_2+B_1B_2=0

A1​A2​+B1​B2​=0,即式(2-2)

直线垂直对应的斜率关系

设

l

1

,

l

2

l_1,l_2

l1​,l2​的斜率存在且分别为

k

1

,

k

2

k_1,k_2

k1​,k2​,则

k

1

=

−

A

1

B

1

k_1=-\frac{A_1}{B_1}

k1​=−B1​A1​​,

k

2

=

−

A

2

B

2

k_2=-\frac{A_2}{B_2}

k2​=−B2​A2​​,则

k

1

k

2

=

A

1

A

2

B

1

B

2

k_1k_2=\frac{A_1A_2}{B_1B_2}

k1​k2​=B1​B2​A1​A2​​,由式(2-2),

A

1

A

2

=

−

B

1

B

2

A_1A_2=-B_1B_2

A1​A2​=−B1​B2​,从而

k

1

k

2

=

−

1

k_1k_2=-1

k1​k2​=−1(3)这就是说,两条斜率存在的直线

l

1

,

l

2

l_1,l_2

l1​,l2​垂直的条件是

k

1

k

2

=

−

1

k_1k_2=-1

k1​k2​=−1

直线垂直判断算法

由两直线的一般方程为

A

i

,

B

i

A_i,B_i

Ai​,Bi​,

(

i

=

1

,

2

)

(i=1,2)

(i=1,2)赋值(

A

i

,

B

i

A_i,B_i

Ai​,Bi​不同时为0)

计算

M

=

A

1

A

2

+

B

1

B

2

M=A_1A_2+B_1B_2

M=A1​A2​+B1​B2​

若

M

=

0

M=0

M=0,则

l

1

⊥

l

2

l_1\perp{l_2}

l1​⊥l2​,否则不垂直

例:

2

x

−

4

y

−

7

=

0

2x-4y-7=0

2x−4y−7=0和

2

x

+

y

−

5

=

0

2x+y-5=0

2x+y−5=0;M=

2

×

2

+

(

−

4

)

×

1

=

0

2\times{2}+(-4)\times{1}=0

2×2+(−4)×1=0,可知两直线垂直

直线垂直对应的方程关系

A

x

+

B

y

+

C

1

=

0

Ax+By+C_1=0

Ax+By+C1​=0,与直线

B

x

−

A

y

+

C

2

=

0

Bx-Ay+C_2=0

Bx−Ay+C2​=0垂直证明:

因为

M

=

A

B

+

B

(

−

A

)

M=AB+B(-A)

M=AB+B(−A)=0,因此两直线垂直 一般的,直线

A

x

+

B

y

+

C

=

0

Ax+By+C=0

Ax+By+C=0垂直的直线可以设为

B

x

−

A

y

+

D

=

0

Bx-Ay+D=0

Bx−Ay+D=0