我复数 (数学)
作为替代，复数
z
{\displaystyle z}
可以用极坐标来指定。极坐标是由叫做绝对值或模的
r
=
|
z
|
≥
0
{\displaystyle r=\left\vert z\right\vert \geq 0}
和叫做
z
{\displaystyle z}
的辐角的
φ
=
arg
z
{\displaystyle \varphi =\arg z}
组成。对于
r
=
0
{\displaystyle r=0}
，任何值的
φ
{\displaystyle \varphi }
都描述同一个数。要得到唯一的表示，常规的选择是设置
arg
0
=
0
{\displaystyle \arg 0=0}
。对于
r
>
0
{\displaystyle r>0}
辐角
φ
{\displaystyle \varphi }
模以
2
π
{\displaystyle 2\pi }
后是唯一的；就是说，如果复数辐角的两个值只相差精确的
2
π
{\displaystyle 2\pi }
的整数倍数，则它们被认为是等价的。要得到唯一表示，常规的选择是限制
φ
{\displaystyle \varphi }
在区间
(
−
π
,
π
]
{\displaystyle (-\pi ,\pi ]}
内，就是
−
π
<
φ
≤
π
{\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }
。复数的极坐标表示叫做复数的“极坐标形式”。
从极坐标形式到笛卡尔坐标形式的转换
x
=
r
cos
φ
{\displaystyle x=r\cos \varphi }
y
=
r
sin
φ
{\displaystyle y=r\sin \varphi }
从笛卡尔坐标形式到极坐标形式的转换
r
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
φ
=
{
arctan
(
y
x
)
if
x
>
0
arctan
(
y
x
)
+
π
if
x
<
0
and
y
≥
0
arctan
(
y
x
)
−
π
if
x
<
0
and
y
<
0
+
π
2
if
x
=
0
and
y
>
0
−
π
2
if
x
=
0
and
y
<
0
u
n
d
e
f
i
n
e
d
if
x
=
0
and
y
=
0.
{\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\+{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\\mathrm {undefined} &{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}}
前面的公式要求非常繁杂的情况区分。但是很多编程语言提供了经常叫做atan2一个变体的反正切函数来处理这些细节。使用反余弦函数的公式要求更少的情况区分:
φ
=
{
+
arccos
x
r
if
y
≥
0
and
r
≠
0
−
arccos
x
r
if
y
<
0
u
n
d
e
f
i
n
e
d
if
r
=
0.
{\displaystyle \varphi ={\begin{cases}+\arccos {\frac {x}{r}}&{\mbox{if }}y\geq 0{\mbox{ and }}r\neq 0\\-\arccos {\frac {x}{r}}&{\mbox{if }}y<0\\\mathrm {undefined} &{\mbox{if }}r=0.\end{cases}}}
极坐标形式的符号
极坐标形式的符号
z
=
r
(
cos
φ
+
i
sin
φ
)
{\displaystyle z=r\,(\cos \varphi +i\sin \varphi )}
，被叫做“三角形式”。有时使用符号cis φ简写cosφ + isinφ。
使用欧拉公式还可以写为
z
=
r
e
i
φ
,
{\displaystyle z=r\,\mathrm {e} ^{i\varphi }\,,}
这叫做“指数形式”。
极坐标形式下的乘法、除法、指数和开方根
在极坐标形式下乘法、除法、指数和开方根要比笛卡尔形式下容易许多。
使用三角恒等式得到
r
1
e
i
φ
1
⋅
r
2
e
i
φ
2
=
r
1
r
2
e
i
(
φ
1
+
φ
2
)
{\displaystyle r_{1}\,e^{i\varphi _{1}}\cdot r_{2}\,e^{i\varphi _{2}}=r_{1}\,r_{2}\,e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})}}
，和
r
1
e
i
φ
1
r
2
e
i
φ
2
=
r
1
r
2
e
i
(
φ
1
−
φ
2
)
{\displaystyle {\frac {r_{1}\,e^{i\varphi _{1}}}{r_{2}\,e^{i\varphi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\,e^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})}}
。依据棣莫弗定理做整数幂的指数运算，
(
r
e
i
φ
)
n
=
r
n
e
i
n
φ
{\displaystyle {\big (}r\,e^{i\varphi }{\big )}^{n}=r^{n}\,e^{in\varphi }}
。任意复数幂的指数运算在条目指数函数中讨论。
两个复数的加法只是两个向量的向量加法，乘以一个固定复数的可以被看作同时旋转和伸缩。
乘以
i
{\displaystyle i}
对应于一个逆时针旋转90 度(
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
弧度)。方程
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
的几何意义是顺序的两个90度旋转导致一个180度(
π
{\displaystyle \pi }
弧度)旋转。甚至算术中的
(
−
1
)
×
(
−
1
)
=
+
1
{\displaystyle (-1)\times (-1)=+1}
都可以被在几何上被理解为两个180度旋转的组合。
任何数的所有方根，实数或复数的，都可以用简单的算法找到。
n
{\displaystyle n}
次方根给出为
r
e
i
φ
n
=
r
n
e
i
(
φ
+
2
k
π
n
)
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{re^{i\varphi }}}={\sqrt[{n}]{r}}\ e^{i\left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)}}
对于
k
=
0
,
1
,
2
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle k=0,1,2,\ldots ,n-1}
，这里的
r
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}
表示
r
{\displaystyle r}
的主
n
{\displaystyle n}
次方根。
