我第五讲 交错级数、绝对收敛和条件收敛

一，负项级数可以通过添加负号转化为正项级数，因此不用讨论

二，交错级数

定义：，（）

三，交错级数的审敛法（又称Leibniz判别法）

若，（），即逐项递减且，即通项趋于0则收敛，其和余项截断误差：余项

四，数列的极限理论

一个数列，如果它的偶次项子数列收敛于s，奇次项子数列也收敛于s，那么整个数列将收敛于s。如图：

五，变号级数的审敛法

任意变号级数：非正项级数，非负项级数，也非交错级数。设变号级数绝对收敛：若其绝对值级数收敛，则收敛推论：若发散，则也发散 条件收敛：若其绝对值级数发散，而收敛

六，交错p-级数的敛散性

定义：，（）当时：其绝对值级数收敛，则绝对收敛当时：其绝对值级数发散，但其逐项递减，且通项，根据交错级数审敛法条件收敛

七，比值审敛法的推广

若，则收敛，则收敛若，则发散，因为，所以，则发散

八，根值审敛法的推广

若，则收敛，则收敛若，则发散，，则发散

九，绝对收敛和条件收敛级数的性质

若和都绝对收敛，则绝对收敛，绝对收敛若和都条件收敛，则不一定条件收敛，不一定收敛若绝对收敛条件收敛，则条件收敛

十，级数的重排（绝对收敛和条件收敛的区别）

变号级数绝对收敛的充要条件是级数的正部和负部都收敛。如图：若变号级数条件收敛，则级数的正部和负部都发散。（逆命题不成立）。如图：绝对收敛级数的交换律：绝对收敛级数任意重排后，其和不变，敛散性不变。条件收敛级数不满足交换律：条件收敛级数任意重排后，其和可能改变，敛散性可能改变。（如果只是改变有限项的位置，不会对级数造成任何变化）。如图：

十一，判断极限敛散性的一般步骤